_____________
Soal Faktorial
1. 8! × 10!! + 12!! = ?
2. 10! + 5! - 3! = ?
3. 12!!!!! + 10!! = ?
Rules
→ Wajib Memakai Cara
→ Jawaban Rapi Dapet BA (Jawaban Tercerdas)
→ No Ngasal
Jawab:
Penjelasan dengan langkah-langkah:
- Definisi faktorial berulang :
[tex]\displaystyle n !^{(m)} = (n-1\cdot m)(n-2\cdot m)(n-3\cdot m) \hdots \; = \prod_{k=0}^{\displaystyle \dfrac{n-n\text{ mod } m}{m}} (n-mk)\\n-mk\neq0\to n\text{ mod } m\neq 0\\\\[/tex]
Untuk kasus n mod m = 0, batas atas nya dikurangi 1
Edit: Definisi lebih sederhananya sebagai berikut :
[tex]\displaystyle n !^{(m)} = \prod_{k=0}^{\displaystyle \lceil\frac{n}{m}\rceil-1} (n-mk)\\\\[/tex]
- Definisi [tex]\displaystyle\lceil\frac{n}{m}\rceil[/tex] (fungsi ceiling):
[tex]\displaystyle n = h\cdot m \to \lceil\frac{n}{m}\rceil = h, \\\\n = h\cdot m +j, 1\geq j \geq m-1 \to \lceil\frac{n}{m}\rceil = h+1[/tex]
- Definisi fungsi mod (modulo) :
[tex]n = h\cdot m+j \to n\text{ mod m} = j \to 0\leq j \leq m-1[/tex]
- Untuk m = 1 :
[tex]\displaystyle n !^{(1)} =n!= (n-1)(n-2)(n-3) \hdots \; = \prod_{k=0}^{\displaystyle n- 1} (n-k)[/tex]
- Untuk m = 2 :
[tex]\displaystyle n !^{(2)} =n!!= (n-2)(n-4)(n-6) \hdots \; = \prod_{k=0}^{\displaystyle \lceil\frac{n}{2}\rceil - 1} (n-2k)[/tex]
- Jika n = 2h :
[tex]\displaystyle n!! = (2h)!!= \prod_{k=0}^{h- 1} (2h-2k) = 2^h\cdot\prod_{k=0}^{h- 1} (h-k)\\\\\boxed{n!! = \sqrt{2^n}\cdot\prod_{k=0}^{\dfrac{n}{2}- 1} (\dfrac{n}{2}-k)=\prod_{k=0}^{\dfrac{n}{2}- 1} (n-2k)}[/tex]
- Jika n = 2h+1:
[tex]\displaystyle n!! = (2h+1)!!=\prod_{k=0}^{\displaystyle \lceil\frac{2h+1}{2}\rceil - 1} (2h+1-2k)\\\\n!! = \prod_{k=0}^{\displaystyle \lceil h+\dfrac{1}{2}\rceil - 1} (2h+1-2k)\\\\n!! = \prod_{k=0}^{\displaystyle h+1-1} (2h+1-2k)\\\\n!! = \prod_{k=0}^{\displaystyle \dfrac{n-1}{2}} (2(\dfrac{n-1}{2}-k)+1)\\\\\boxed{n!! = \prod_{k=0}^{\displaystyle \dfrac{n-1}{2}} (n-2k)}[/tex]
- Untuk m = 5
- Jika n = 5h+j, 1≤j≤4 :
[tex]\displaystyle n !^{(5)} =n!!!!!= (n-5)(n-10)(n-15) \hdots n\text{ mod 5}\; = \prod_{k=0}^{\displaystyle \dfrac{n-n\text{ mod }5}{5}} (n-5k)\\n!!!!!=\prod_{k=0}^{\displaystyle \lceil\frac{n}{m}\rceil-1}(n-5k)[/tex]
- Jika n = 5h
[tex]\displaystyle n !^{(5)} =n!!!!!= (n-5)(n-10)(n-15) \hdots 5\; = \prod_{k=0}^{\displaystyle \dfrac{n}{5}-1} (n-5k)[/tex]
1.
[tex]\displaystyle 8!\times 10!!+12!! = \prod_{k=0}^{7}(8-k)\times \prod_{k=0}^{4}(10-2k)+ \prod_{k=0}^{5}(12-2k)\\\\8!\times 10!!+12!! = (8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)\times(10\cdot 8\cdot 6\cdot 4\cdot 2)+12\cdot 10\cdot 8\cdot 6\cdot 4\cdot 2\\\\8!\times 10!!+12!! = (8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 2+1)\cdot 12\cdot 10\cdot 8\cdot 6\cdot 4\cdot 2\\\\8!\times 10!!+12!! = (56\cdot 60+1)\cdot 120\cdot 48\cdot 8\\\\\huge{\boxed{\boxed{\boldsymbol{8!\times 10!!+12!! = 154.874.880}}}}[/tex]
2.
[tex]\displaystyle 10!+5! - 3!=\prod_{k=0}^{4}(10-k)+ \prod_{k=0}^{4}(5-k) -\prod_{k=0}^{2}(3-k) \\\\10!+5! - 3!= 3!\cdot (5\cdot 4\cdot (10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6+1) -1)\\\\10!+5! - 3!=6\cdot (20\cdot30241-1)\\\\10!+5! - 3!=6\cdot (20\cdot30241-1)\\\\ \Huge{\boxed{\boxed{\boldsymbol{10!+5!-3! =3.628.914}}}}[/tex]
3.
[tex]\displaystyle 12!!!!!+10!!=\prod_{k=0}^{2}(12-5k)+ \prod_{k=0}^{1}(10-2k) \\\\12!!!!!+10!!= 12\cdot 7\cdot 2 + 10\cdot 8\cdot 6\cdot 4\cdot 2\\\\12!!!!!+10!!= 24\cdot 167\\\\\Huge{\boxed{\boxed{\boldsymbol{12!!!!!+10!! =4.008}}}}[/tex]
Materi : Faktorial Berulang (Faktorial tingkat lanjutan)
Tingkat Pendidikan : Kuliah
Jawaban:
Soal ↓
1. 8! × 10!! + 12!! = 154.874.880
2. 10! + 5! - 3! = 3.628.914
3. 12!!!!! + 10!! = 4.008
Pendahuluan
Faktorial merupakan perkalian berurutan dan diawali dari angka 1 sampai dengan angka yang di maksud. Faktorial dipergunakan untuk menghitung dan menjumlahkan banyaknya susunan objek yang bisa dibentuk dari sekumpulan objek tanpa memperhatikan dari urutannya.
Macam-macam Faktorial :
- Permutasi merupakan susunan atau urutan yang berbeda satu sama lain yang terbentuk dari sebagian atau dari seluruh objek.
- Kombinasi merupakan banyaknya cara untuk memilih anggota dari jumlah tertentu yaitu dari anggota suatu himpunan.
Pembahasan soal
1. 8! × 10!! + 12!! = ?
1. 8! × 10!! + 12!! = ?2. 10! + 5! - 3! = ?
1. 8! × 10!! + 12!! = ?2. 10! + 5! - 3! = ?3. 12!!!!! + 10!! = ?
Jawaban : ↓
1. 8! × 10!! + 12!! = 154.874.880
(8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (10 × 8 × 6 × 4 × 2) + (12 × 10 × 8 × 6 × 4 × 2)
= (40.320) × (3.840) + (46.080)
= 154.828.800 + 46.080
= 154.874.880
2. 10! + 5! - 3! = 3.628.914
(10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) + (5 × 4 × 3 × 2 × 1) - (3 × 2 × 1)
= (3.628.800) + (120) - (6)
= 3.628.920 - 6
= 3.628.914
3. 12!!!!! + 10!! = 4.008
(12 × 7 × 2) + (10 × 8 × 6 × 4 × 2)
= (168) + (3.840)
= 4.008
====================================
Detail Jawaban
→ Mapel : Matematika
→ Kelas : IX
→ Materi : Faktorial
→ Kode Soal : 2
→ Kode Kategorisasi : 9.2.1
→ Kata Kunci : Bentuk sederhana,dan,Faktorial
#LearnWithBranly
[answer.2.content]
